დახმარება - ძებნა - წევრები - კალენდარი
სრული ვერსია: მათემატიკა
რა? სად? როდის? ფორუმი > სამეცნიერო განყოფილება > მეცნიერება და წიგნები
გვერდი: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
Ani
მათემატიკა არის მეცნიერება, რომელიც ეფუძნება აბსტრაგირებას, დედუქციურ მსჯელობას და სიმბოლურ ლოგიკას. ზოგჯერ მათემატიკას აღწერენ როგორც მეცნიერებას რიცხვების, გეომეტრიული ფიგურების და გარდაქმნების შესახებ. უფრო ფორმალური თვალთახედვით მათემატიკა სწავლობს აქსიომატურად განმარტებულ აბსტრაქტულ მათემატიკურ სტრუქტურებს.

ერთის მხრივ მათემატიკა იქმნება წმინდა თეორიული ინტერესების გამო – წმინდა მათემატიკა. მეორეს მხრივ მათემატიკური კვლევა სათავეს იღებს საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებიდან, გამოიყენება ინჟინერიაში, მედიცინაში და ეკონომიკაში – გამოყენებითი მათემატიკა.

ტერმინი მათემატიკა ბერძნული წარმოშობისაა, μάθημα (máthema) „მეცნიერებას, ცოდნას, სწავლას“ ნიშნავს, ხოლო μαθηματικός (mathematikós) – „სწავლის მოყვარულს“.




ამ თემაში ვისაუბროთ მათემატიკის შესახებ. კარგი იქნება საინტერესო ამოცანებსაც თუ დავწერთ და მსურველები ამოხსნიან



che
და ისა? ფილოსოფიური მათემატიკა არა? biggrin.gif

შემოვა ეხლა გიო biggrin.gif

კარგი თემაა.. მერე შემოვაგდებ ფილოსოფიურ იდეებს biggrin.gif
skiron
ციტატა(che @ Jan 26 2009, 07:03 PM) *
და ისა? ფილოსოფიური მათემატიკა არა? biggrin.gif
შემოვა ეხლა გიო biggrin.gif
კარგი თემაა.. მერე შემოვაგდებ ფილოსოფიურ იდეებს biggrin.gif


გოგორიშვილის წერა გახდები შენ... biggrin.gif biggrin.gif biggrin.gif
=SYD=
ამოცანები გინდათ ? რა პრობლემაა .. აქ ტყუილად კი არ ვარ biggrin.gif
წესიერ N კუთხედში მცირე და დიდ დიაგონალებს შორის სხვაობა გვერდის სიგრძის ტოლია. იპოვეთ N.

P.S. გიგლემ ეს ამოცანა შენ არ გეხება !
longbowman
ციტატა(che @ Jan 26 2009, 07:03 PM) *
და ისა? ფილოსოფიური მათემატიკა არა? biggrin.gif

შემოვა ეხლა გიო biggrin.gif

კარგი თემაა.. მერე შემოვაგდებ ფილოსოფიურ იდეებს biggrin.gif

ციტატა
გოგორიშვილის წერა გახდები შენ...

smile.gif
inkognito
ციტატა(=SYD= @ Jan 26 2009, 06:59 PM) *
ამოცანები გინდათ ? რა პრობლემაა .. აქ ტყუილად კი არ ვარ biggrin.gif
წესიერ N კუთხედში მცირე და დიდ დიაგონალებს შორის სხვაობა გვერდის სიგრძის ტოლია. იპოვეთ N.

P.S. გიგლემ ეს ამოცანა შენ არ გეხება !



9 კუთხედია?მგონი კი rolleyes.gif rolleyes.gif
=SYD=
inkognito
შეამოწმე აბა..
inkognito
ციტატა(=SYD= @ Jan 26 2009, 07:38 PM) *
inkognito
შეამოწმე აბა..



დარწმუნებული ვარ smile.gif
okicha
ციტატა
ამოცანები გინდათ ? რა პრობლემაა .. აქ ტყუილად კი არ ვარ biggrin.gif წესიერ N კუთხედში მცირე და დიდ დიაგონალებს შორის სხვაობა გვერდის სიგრძის ტოლია. იპოვეთ N.

P.S. გიგლემ ეს ამოცანა შენ არ გეხება !

17 რატომგაც გაუსი მაგახსენდა biggrin.gif
okicha
გენიალური თემაა .. biggrin.gif რო მოვიცლი გადმოვალაგებ პითაგორა პლატონს biggrin.gif
გიგლემა
კაია...


ასეთი თემის გახსნა კაიაა...
გიგლემა
=SYD=
ციტატა
P.S. გიგლემ ეს ამოცანა შენ არ გეხება !



ხო რათქმაუნდა rolleyes.gif






lasha_manutd
მაგარი თემაა (ამისთვის დავრეგისტრირდი), საღოლ ანი! smile.gif ეხლა ერთ ამოცანას დავწერ და აბა თქვენ იცით: (მარტივით დავიწყებ და მერე გავართულებ ხოლმე, თუ რამე მერე ამოხსნებსაც დავწერ).
დაამტკიცეთ, რომ თუ (N^2+1) რიცხვი იყოფა P მარტივ რიცხვზე, მაშინ (P-1) იყოფა 4-ზე (N ლუწი ნატურალური რიცხვია).
lasha_manutd
ესეც n-კუთხედზე ამოცანის ამოხსნა: ვთქვათ, მრავალკუთხედის წვეროებია A_1, A_2, ... ,A_n, ხოლო მისი გვერდი ზოგადობის შეუძღუდავად იყოს 1-ის ტოლი. განვიხილოთ 2 შესაძლო შემთხვევა: (1) n კენტია; (2) n ლუწია;
(1) თუ n კენტია, მაშინ ამ მრავალკუთხედის უდიდესი დიაგონალებია A_1A_((n+1)/2) და A_1A_((n-1)//2). ვთქვათ, ამ მრავალკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის A_1A_2 რკალის სიგრძეა 2x. მაშინ, კუთხე A_((n-1)//2)A_1A_((n+1)/2) ტოლია x-ის და ამიტომ, D(max)=1/2*sin(x/2). ცხადია, უმცირესი დიაგონალი ტოლი იქნება A_1A_3-ის, მაგრამ რადგან
A_1A_2=A_2A_3 და კუთხე A_2A_1A_3=x, ამიტომ D(min)=2*cosx. პირობიდან გამომდინარე, D(max)=D(min)+1, ანუ 1/2=sin(x/2)+2sin(x/2)*cosx, მაგრამ 2sin(x/2)*cosx=
sin((x/2)+x)+sin((x/2)-x)=sin(3x/2)-sin(x/2). ე.ი. 1/2=sin(x/2)+sin(3x/2)-sin(x/2)=sin(3x/2). ცხადია, x=180/n. მივიღეთ, რომ 270/n=30+360k an 270/n=150+360k (k მთელი რიცხვია). ამიტომ, ერთადერთი ამონახსნია n=9 ( როცა k=0).
(2) თუ n ლუწია, მაშინ ამ მრავალკუთხედის უდიდესი დიაგონალი იქნება მასზე შემოხაზული წრეწირის დიამეტრი. ვთქვათ, შემოხაზული წრეწირის ცენტრია O. სამკუთხედ A_1OA_2-ში კუთხე A_1OA_2=2x (x იგივე კუთხეა, რაც (1) შემთხვევაში), ხოლო A_1O=A_2O=D(max)/2. ამიტომ, D(max)=1/sinx. ცხადია, რომ D(min)=2*cosx. ამიტომ,
1/sinx = 1 + 2cosx, საიდანაც 1 = sinx + sin(2x) (*). რადგან x=180/n და n ლუწია, n>=4 (ცხადია მრავალკუთხედის წვეროების რაოდენობა 2 ვერ იქნება). ამიტომ, x<=45. შემოწმებით ვნახავთ, რომ x=45, x=30 და x=22.5 არ აკმაყოფილებს (*)-ს. ე.ი. n>=10, ანუ x<=18. ცხადია, x და 2x ეკუთვნიან (0;90) შუალედს და რადგან n-ის ზრდა იწვევს x-ის შემცირებას, 1= sin x +sin 2x <= sin 18 + sin 36 < 1,(რადგან sin 18 + sin 36 დაახლოებით 0.89-ის ტოლია),ანუ 1<1, რაც ცხადია შეუძლებელია.
(1) და (2) მსჯელობების გაერთიანებით მიიღება, რომ ერთადერთი ამონახსნია n=9. smile.gif
inkognito
ციტატა(lasha_manutd @ Jan 28 2009, 12:02 PM) *
ესეც n-კუთხედზე ამოცანის ამოხსნა: ვთქვათ, მრავალკუთხედის წვეროებია A_1, A_2, ... ,A_n, ხოლო მისი გვერდი ზოგადობის შეუძღუდავად იყოს 1-ის ტოლი. განვიხილოთ 2 შესაძლო შემთხვევა: (1) n კენტია; (2) n ლუწია;
(1) თუ n კენტია, მაშინ ამ მრავალკუთხედის უდიდესი დიაგონალებია A_1A_((n+1)/2) და A_1A_((n-1)//2). ვთქვათ, ამ მრავალკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის A_1A_2 რკალის სიგრძეა 2x. მაშინ, კუთხე A_((n-1)//2)A_1A_((n+1)/2) ტოლია x-ის და ამიტომ, D(max)=1/2*sin(x/2). ცხადია, უმცირესი დიაგონალი ტოლი იქნება A_1A_3-ის, მაგრამ რადგან
A_1A_2=A_2A_3 და კუთხე A_2A_1A_3=x, ამიტომ D(min)=2*cosx. პირობიდან გამომდინარე, D(max)=D(min)+1, ანუ 1/2=sin(x/2)+2sin(x/2)*cosx, მაგრამ 2sin(x/2)*cosx=
sin((x/2)+x)+sin((x/2)-x)=sin(3x/2)-sin(x/2). ე.ი. 1/2=sin(x/2)+sin(3x/2)-sin(x/2)=sin(3x/2). ცხადია, x=180/n. მივიღეთ, რომ 270/n=30+360k an 270/n=150+360k (k მთელი რიცხვია). ამიტომ, ერთადერთი ამონახსნია n=9 ( როცა k=0).
(2) თუ n ლუწია, მაშინ ამ მრავალკუთხედის უდიდესი დიაგონალი იქნება მასზე შემოხაზული წრეწირის დიამეტრი. ვთქვათ, შემოხაზული წრეწირის ცენტრია O. სამკუთხედ A_1OA_2-ში კუთხე A_1OA_2=2x (x იგივე კუთხეა, რაც (1) შემთხვევაში), ხოლო A_1O=A_2O=D(max)/2. ამიტომ, D(max)=1/sinx. ცხადია, რომ D(min)=2*cosx. ამიტომ,
1/sinx = 1 + 2cosx, საიდანაც 1 = sinx + sin(2x) (*). რადგან x=180/n და n ლუწია, n>=4 (ცხადია მრავალკუთხედის წვეროების რაოდენობა 2 ვერ იქნება). ამიტომ, x<=45. შემოწმებით ვნახავთ, რომ x=45, x=30 და x=22.5 არ აკმაყოფილებს (*)-ს. ე.ი. n>=10, ანუ x<=18. ცხადია, x და 2x ეკუთვნიან (0;90) შუალედს და რადგან n-ის ზრდა იწვევს x-ის შემცირებას, 1= sin x +sin 2x <= sin 18 + sin 36 < 1,(რადგან sin 18 + sin 36 დაახლოებით 0.89-ის ტოლია),ანუ 1<1, რაც ცხადია შეუძლებელია.
(1) და (2) მსჯელობების გაერთიანებით მიიღება, რომ ერთადერთი ამონახსნია n=9. smile.gif


აკი ვთქვი... და არ დამიჯერეს smile.gif
SOSO
inkognito
ციტატა
აკი ვთქვი... და არ დამიჯერეს

გაარტყი შენsmile.gif
დამტკიცება უნდოდაsmile.gif
inkognito
ციტატა(SOSO @ Jan 28 2009, 01:27 PM) *
inkognito
ციტატა
აკი ვთქვი... და არ დამიჯერეს

გაარტყი შენsmile.gif
დამტკიცება უნდოდაsmile.gif



არაფერიც...
დავამტკიცებ, ოღონდ ინგლისურად smile.gif smile.gif
SOSO
inkognito
წერია სადღაც ხო? smile.gif
inkognito
SOSO
გამოცდებს რა ვუთხარი, თორე მაგის გადათარგმნაც არ იყო დიდი პრობლემა smile.gif
ისე, ინტერნეტში რომ ყველაფერი წერია, გეცოდინება, დარწმუნებული ვარ smile.gifsmile.gif
ისე, დებილიც არა ვარ მათემატიკაში, უბრალოდ ოთხი წელია, კვადრატული განტოლებაც კი არ ამომიხსნია. არადა სკოლაში ძალიან მიყვარდა smile.gifsmile.gifsmile.gifsmile.gif
SOSO
inkognito
ციტატა
ისე, დებილიც არა ვარ მათემატიკაში, უბრალოდ ოთხი წელია, კვადრატული განტოლებაც კი არ ამომიხსნია. არადა სკოლაში ძალიან მიყვარდა

მეც დაახლოებით ეგრე ვარsmile.gif
კვადრატული განტოლების ამოხსნა მე მგონი ჯერ კიდევ მახსოვსsmile.gif
lasha_manutd
კიდე დადეთ ამოცანები თუ რამე კაი იცით. და თუ ჩემ დაწერილს ვერ აკეთებთ ამოხსნას დავწერ თუ გინდათ wink.gif
=SYD=
კარგი ამოცანების მეტი რა ვიცი ..
ათწილადში 0.12345678910111213... ამოწერილია ყველა ნატურალური რიცხვი. დაამტკიცეთ რომ ეს არაა პერიოდული ათწილადი.
P.S. საკმაოდ მარტივად მტკიცდება..
lasha_manutd
დავუშვათ საწინააღმდეგო, რომ არსებობს პერიოდი. ვთქვათ, ამ პერიოდის სიგრძეა n (ანუ ეს პერიოდი შეიცავს n ციფრს). მაშინ, ცხადია ყოველი ციფრი, რომლის რიგიც იქნება 1-ის სადარი n-ის მოდულით (ანუ რომლის n-ზე გაყოფით მიღებული ნაშთიც იქნება 1), უნდა იყოს 1. ცხადია, ყველა ნატურალური რიცხვის ათობითი ჩანაწერი ათწილადში შედის. ამიტომ, ათწილადში შევა რიცხვი 10^n, მაგრამ ამ რიცხვში არის ზედიზედ n ცალი 0. ცხადია, ნებისმიერი n ცალ მომდევნო რიცხვს შორის იქნება რიცხვი, რომლის ნაშთიც n-ზე გაყოფისას 1-ის ტოლია. ამიტომ, ამ მომდევნო n ცალ 0-ს შორის უნდა იყოს 1, რაც შეუძლებელია. ე.ი. ჩვენი დაშვება მცდარია და ეს ათწილადი პერიოდული არ არის.
P.S. თუ უფრო ადვილი ამოხსნა იცით დაწერეთ მაგრა მაინტერესებს.
გიგლემა
აბა 1ს მეც შემოვაგდებ smile.gif



გიგლემა
მოცემულია სასრული რაოდენობის წერტილები რომელთგანაც ნებისმიერ 3ით აგებული სამკუთხედის ფართობი ნაკლებია 1ზე.
დაამტკიცეთ რომ ყველა ეს წერტილი თავსდება სამკუთხედი რომლის ფართობია 4 .




გიგლემა
ადვილი ნაღდად არაა.

ყველა ვერ გააკეთებს smile.gif
=SYD=
ციტატა
P.S. თუ უფრო ადვილი ამოხსნა იცით დაწერეთ მაგრა მაინტერესებს.

გაყოფადობის გარეშეც შეიძლებოდა :
აი ჩემი ვარიანტი :

დავუშვათ პერიოდი არსებობს და შედგება K რაოდენობის ციფრისგან. ცხადია , ამ სიაში აუცილებლად შეგვხვდება მიყოლებით ჩაწერილი K რაოდენობის 0. ასევე შეგვხვდება K ცალი 1იანისგან მიღებული რიცხვი. ეს კი შეუძლებელია, რადგან პირველ შემთხვევაში პერიოდი გამოდის K რაოდენობის 0 , მეორე შემთხვევაში კი K რაოდენობის 1იანი. ანუ ჩვენი დაშვება მცდარია.
okiam ermutsem
მათემატიკა ძალიან, ძალიან მაგარი რაღაცააbiggrin.gif cool.gif
SOSO
ციტატა
ადვილი ნაღდად არაა.

ყველა ვერ გააკეთებს

რამდენიმე წლით ახალგაზრდა რო ვიყო, მგონი გავაკეთებდი smile.gif
Catherine
ციტატა
რამდენიმე წლით ახალგაზრდა რო ვიყო, მგონი გავაკეთებდი



SOSO

არც ეხლაა მთლად გვიან, მგონი! wink.gif
anuchi
მათემატიკა ზუსტი მეცნიერებაა.. კიდევ რა მახსოვს? პიტაგორა, თალესი.. ორი ქალაქიდან გამოვიდა ორი ავტომანქნა, ჰეჰე კაი იყო smile.gif
nmacho
თემა მართლაც ძლიერია, მაგრამ თუ არ გავუზიარეთ ერთმანეთს ამოცანებს დაკარგავს თავის Rირსებას wink.gif
ასე რომ ცოტა გააქტიურება არ გვაწყენდა....
lasha_manutd -მ სპეციფიური ამოცანა შემოგვთავაზა რომელიც თუ არ იცით ძნელად თუ მოგაფიქრდებად.
ოლიმპიადის მასალის ერთ-ერთ უმნიშვნელოვანეს ფაქტებზეა ამოხსნა დაფუძნებული. კერძოდ ლეჟანდრის სიმბოლოს პირდაპირ შედეგს წარმოადგენს, მაგრამ მე განსხვავებულ ამოხსნას დავწერ.
ამოცანა ასეთია p| n^2 +1 => p=4k+1 (| ნიშნავს P ყოფს N^2+1 ს, P მარტივია )
P|N^4 -1
P|N^(P-1) -1 (ფერმას მცირე თეორემა)
4 ის და P-1 ის უ.ს.გ იყოს D, მაშინ P|N^D -1 (ეს ცნობილი ლემაა, 4 ის მაგივრად რო ეწეროს A და D იყოს A სი და P-1 ის უსგ , მაინც სწორი იქნება )
D=2 ან D=4 (P-1 არის ლუწი და D P-1 ის და 4 ის უსგ wink.gif)
თუ D=2 მაშინ P| N^2 -1 მაგრამ P| N^2 +1 (პირობიდან)
ანუ D=4 რაც ნიშნავს რო 4|P-1 => P=4K+1 რ.დ.გ

P.S N=n , P=p
HOUSE M.D.
nmacho
ციტატა
ამოცანა ასეთია p| n^2 +1 => p=4k+1 (| ნიშნავს P ყოფს N^2+1 ს, P მარტივია ) P|N^4 -1 P|N^(P-1) -1 (ფერმას მცირე თეორემა) 4 ის და P-1 ის უ.ს.გ იყოს D, მაშინ P|N^D -1 (ეს ცნობილი ლემაა, 4 ის მაგივრად რო ეწეროს A და D იყოს A სი და P-1 ის უსგ , მაინც სწორი იქნება ) D=2 ან D=4 (P-1 არის ლუწი და D P-1 ის და 4 ის უსგ wink.gif) თუ D=2 მაშინ P| N^2 -1 მაგრამ P| N^2 +1 (პირობიდან) ანუ D=4 რაც ნიშნავს რო 4|P-1 => P=4K+1 რ.დ.გ

P.S N=n , P=p

ეს რა არის? tongue.gif
nmacho
ციტატა
ეს რა არის?

რა არის? მე ამოხსნა მგონია, რამე შეცდომაა?
რადგან დაპოსტვა მომიწია ამოცანებსაც შემოგთავაზებთ , თორე პასიურობთ.
1) კლასში 30 ბავშვია, შეიძლება თუ არა რო 11 მათგანს ყავდეს 3 ნაცნობი , 9 მათგანს 4 ნაცნობი და 10 მათგანს 5 ?
2) გვაქვს რამდენიმე დოქი, 2 მაინც განსხვავებული ფერისაა და 2 მაინც განსხვავებული ფორმისაა. დაამტკიცეთ რომ გვაქვს 2 დოქი რომლებიც ფორმითაც და ფერითაც განსხვავდებიან.
3) დაამტკიცეთ რომ 6 კაციდან მოიძებნება სამი რომელნიც ერთმანეთს იცნობენ (წყვილ-წყვილად) ან სამი რომელნიც ერთმანეთს არ იცნობენ.
აბა თქვენ იცით, დაბრდღვენით wink.gif
HOUSE M.D.
nmacho
ციტატა
რა არის? მე ამოხსნა მგონია, რამე შეცდომაა?

ჩემთვის სულ შეცდომაა? tongue.gif tongue.gif
=SYD=
ციტატა
3) დაამტკიცეთ რომ 6 კაციდან მოიძებნება სამი რომელნიც ერთმანეთს იცნობენ (წყვილ-წყვილად) ან სამი რომელნიც ერთმანეთს არ იცნობენ.

ამას რა დამტკიცება უნდა ?
გიგლემა
ციტატა
2) გვაქვს რამდენიმე დოქი, 2 მაინც განსხვავებული ფერისაა და 2 მაინც განსხვავებული ფორმისაა. დაამტკიცეთ რომ გვაქვს 2 დოქი რომლებიც ფორმითაც და ფერითაც განსხვავდებიან.

ელემენტალური :
დავუშვათ საწინააღმდეგო ანუ ნებისმიერ დოქს თუ ავიღებთ უნდა ყველა სხვა დოქი უნდა იყოს ან მისი ფერის ან მისი ფორმის.
ავიღოთ ის დოქი რომელიც განსხვავებულია ვთქვათ ფერით:
ამ დოქისთვის 1ის გარდა ყველა განსხვავდება ფერით.
ვიცით რომ 2 არის რომელიც განსხვავდება ფორმით დანარჩენებისგან. ფორმით განსხვავებული დოქი არის აღებული დოქის საწინააღმდეგო ფერის მაშინ აღებული დოქი და განსხვავებული ფორმის დოქი ორივე ნიშნით განსხვავდება.
თუ ფერით განსხვავებული 1 დოქი არის აღებული დოქის მსგავსი ფერის მაშინ მეორე ან თვითონ აღებული დოქი იქნება ან მისგან განსხვავებული ფერის დოქებიდან ერთერთი. პირველ შემთხვევაში აღებული დოქი ორივე ნიშნით განსხვავდება დარჩენილი დოქებისგან და მეორე შემთხვევაში კი ის მეორე განასხავებული ფორმის დოქი იქნება აღებული დოქისგან ორივე ნიშნით განსხვავებული smile.gif

გიგლემა
მესამე ძალიან ადვილია დავწერო მისი ამოხსნაც?
გიგლემა
პირველის დაწერა მეზარება biggrin.gif
გიგლემა
სხვებმაც იფიქრეთ თორე ესე რა აზრი აქვს smile.gif
HOUSE M.D.
GiGlema
შენ კაცურად ის დაწერე რა? სად? როდის?-ში კიტხვა რომ დასვი რიცხვებზე, იმის პასუხი
გიგლემა
HOUSE M.D.
არა არ დავწერ biggrin.gif
HOUSE M.D.
GiGlema
ამდენ ხანს არცერთი კიტხვა არ ყოფილა უპასუხოდ biggrin.gif თან თავი მტკივა უკვე biggrin.gif
=SYD=
მანახე კითხვა ..
გიგლემა
HOUSE M.D.
ციტატა
ამდენ ხანს არცერთი კიტხვა არ ყოფილა უპასუხოდთან თავი მტკივა უკვე

biggrin.gif მეც თავი მოვიკალი მაგაზე biggrin.gif


გიგლემა
=SYD=
ციტატა
მანახე კითხვა ..

რა ? სად ? როდის ? განყოფილებაში შედი და უკან გაყევი სანამ ჩემ კითხვას არ მიაგნებ smile.gif
HOUSE M.D.
GiGlema
მერ ჩვენ რას გვერჩი? biggrin.gif
გიგლემა
HOUSE M.D.
არაფერს უბრალოდ ვეძებ გამჭრიახ ადამიანს biggrin.gif

მაგალითად ლუკას smile.gif
გავიგე ჭკვიანი ყოფილაო smile.gif
გიგლემა
nmacho
ს დაწერილ ამოცანების ამოხსებს არ დაწერთ ?
rolleyes.gif
HOUSE M.D.
GiGlema
ციტატა
აგალითად ლუკას smile.gif გავიგე ჭკვიანი ყოფილაო

ხო ეგ ჯერ დასმული არაა კითხვებირომ იცნობს biggrin.gif მაგრამ კაი ხანია არ შემოსულა და სანამ არ შემოვა პასუხი არ უდნა დაწერო? biggrin.gif
ეს არის ფორუმის 'მსუბუქი' (lo-fi) ვერსია. თუ გსურთ იხილოთ სრულად, სურათებით, გაფორმებით და მეტი ინფორმაციით, დააწკაპუნეთ აქ.
Invision Power Board © 2001-2019 Invision Power Services, Inc.